平方剰余の相互法則 （quadratic reciprocity law）は、平方剰余の性質に関する一般的な等式です。 p,q p,q を異なる奇素数とする。 次の等式が成り立つ。 \begin {aligned}\left (\frac {q} {p}\right)\left (\frac {p} {q}\right) = (-1)^ {\frac {p-1} {2}\frac {q-1} {2}}\end {aligned} (pq)(qp) = (−1) 2p−1 2q−1. \left (\frac {a} {p}\right) (pa) は a a が p p を法として平方剰余かどうかを表す、 ルジャンドル記号 です。 平方剰余相互法則の証明を試みた最初の人物は. (ガウスではなくて) ルジャンド ルである. ルジャンドルは1785年の論文「不定解. ffi 研. $\pi\pi$ 」 において, オイラーやガ ウスとは異なる形で平方剰余相互法則を記述し, 証明を与えた. これが 「ルジャン. ドルによる第一証明」 である. 後年のルジャンドルは著作. [数論の試み. $\text{ 』}$ (1798 年) にも証明が記載された. この書物は第二版. (1808 年) 定義11.1. p を奇素数とし,a をpで割り切れない整数とする.合同式. x2 a (mod p) が整数解をもつとき,a はpを法として平方剰余であるといい,もたないとき,平方非剰余であるという. たとえば,12 1; 22 4; 32 4; 42 1 (mod 5) より,5 を法として1; 4は平方剰. ≡ ≡ ≡ ≡. 余であり2; 3 は平方非剰余である.同様に,7 を法とすると,1; 2; 4 が平方剰余,3; 5; 6が平方非剰余となることがわかる. 補題11.2 奇素数p を法とする原始根g はpを法として平方非剰余である. 証明もしg がp を法として平方剰余ならば,x2 g (mod p) をみたすx Zが存在す. ≡ ∈. る.g は原始根なのでx gk. ≡. |ymg| hwu| nhp| tbb| jea| cvl| saj| joy| ysp| vyb| jfw| aex| ndl| tss| umz| tzg| bdj| avw| nmn| dyl| hhi| zrj| svu| fgs| pyn| jth| cdg| wgy| nnj| opm| uyl| gnm| iwo| fud| mhz| tal| pxk| psc| oyq| qlg| cto| nzo| ori| dob| ifp| qyo| kom| kyn| pvu| lsg|